Burgess 界以下的二次非剩余

对于任意奇素数 $p$，令 $(\cdot|p)$ 为勒让德符号，并令 $n_1(p)<n_2(p)<\cdots$ 为模 $p$ 的正非剩余序列，即对每个 $k$ 有 $(n_k|p)=-1$。1957年，Burgess 证明了对于任意固定的 $\epsilon>0$，上界 $n_1(p)\ll_\epsilon p^{(4\sqrt{e})^{-1}+\epsilon}$ 成立。在本文中，我们证明了对所有奇素数 $p$，在条件 $$k\le p^{(8\sqrt{e})^{-1}} \exp\big(\tfrac12\sqrt{e^{-1}\log p\log\log p}-\tfrac12\log\log p\big)$$ 下，更强的界 $$n_k(p)\ll p^{(4\sqrt{e})^{-1}}\exp\big(\sqrt{e^{-1}\log p\log\log p}\,\big)$$ 成立，其中隐含常数为绝对常数。对于固定的 $\epsilon\in(0,\frac{\pi-2}{9\pi-2}]$，我们还证明了存在一个数 $c=c(\epsilon)>0$，使得对所有奇素数 $p$ 以及 $\theta\in\{\pm 1\}$ 的任意选择，在条件 $$y\ge p^{(4\sqrt{e})^{-1}}\exp\big(c(\log p)^{1-\epsilon}\big)$$ 下，有 $\gg_\epsilon y/(\log y)^\epsilon$ 个自然数 $n\le y$ 满足 $(n|p)=\theta$。