$p$-进超几何恒等式的类似物及其应用

在本文中，我们证实了 Sun 最近提出的若干猜想；例如，我们证明对任意奇素数 $p$ 有 $$\sum_{k=0}^{p-1}A_k\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}\quad&\text{if $p=x^2+2y^2\ (x,y\in\mathbb{Z})$},\\ 0\pmod{p^2}\quad&\text{if $p\equiv5,7\pmod{8}$},\end{cases}$$ 其中 $A_n:=\sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}^2\binom{n}{k}^2$ 为 Apéry 数。