关于二次剩余模素数的多项式

设 $p$ 为奇素数，定义 $$G_p(x)=\prod_{k=1}^{(p-1)/2}\left(x-e^{2\pi i k^2/p}\right).$$ 本文通过 Galois 理论研究 $G_p(x)$ 在单位根处的值，并确认了一些先前的猜想。例如，对于任意原始十次单位根 $\zeta$，我们证明了 G_p(\zeta)=\begin{cases}(-1)^{|\{1\le k\le \frac {p+9}{10}:\ (\frac pk)=-1\}|} &\text{if}\ p\equiv21\pmod{40}, \(-1)^{|\{1\le k\le\frac {p+1}{10}:\ (\frac pk)=-1\}|}\zeta^{2}&\text{if}\ p\equiv 29\pmod{40}, \end{cases} 其中 $(\frac pk)$ 表示 Legendre 符号。