一个涉及单位根的多项式及其应用

设 $p>3$ 为素数。Gauss 首先引入了多项式 $S_p(x)=\prod_{c}(x-\zeta_p^c)$，其中 $0<c<p$ 且 $c$ 取遍模 $p$ 的所有二次剩余，$\zeta_p=e^{2\pi i/p}$。后来 Dirichlet 研究了该多项式并用以解决涉及 Pell 方程的问题。最近，Z.-W Sun 研究了涉及该多项式的一些三角恒等式。本文将他们的结果进行了推广。作为我们结果的应用，我们推广了 S. Chowla 关于 $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ 基本单位的同余结果，并给出了扩展的 Ankeny-Artin-Chowla 猜想的等价形式。