关于Carmichael数与多边形数、Bernoulli多项式及p进制数字和

我们在$p$进理论背景下给出了Carmichael数集合$\mathcal{C}$的一个新刻画，独立于Korselt和Carmichael的经典结果。该刻画源于通过$p$进制数字和函数与Bernoulli多项式分母之间的惊人联系。更确切地说，我们证明了这样的分母满足一个三重积恒等式，其中一个因子与$p$进定义的、包含$\mathcal{C}$的无平方因子整数子集$\mathcal{S}$相关联。这引出了$\mathcal{C}$的一个新子集$\mathcal{C}'$的定义，称为“原Carmichael数”。随后，我们确立每个Carmichael数都等于一个显式确定的多边形数。最后，集合$\mathcal{S}$被模子集$\mathcal{S}_d$（$d \geq 1$）所覆盖，这些子集与Knödel数相关，其中$\mathcal{C} = \mathcal{S}_1$是一个特例。