模素数的 Artin-Hasse 级数与 Laguerre 多项式

对于奇素数 $p$，令 $\mathrm{E}_{p}(X)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}X^{n}\in\mathbb{F}_p[[X]]$ 表示 Artin-Hasse 指数级数模 $p$ 的归约。已知存在级数 $G(X^p)\in \mathbb{F}_{p}[[X]]$，使得 $L_{p-1}^{(-T(X))}(X)=\mathrm{E}_{p}(X)\cdot G(X^p)$，其中 $T(X)=\sum_{i=1}^{\infty}X^{p^{i}}$，且 $L_{p-1}^{(\alpha)}(X)$ 表示次数为 $p-1$ 的（广义）Laguerre 多项式。我们证明 $G(X^p)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_{np}X^{np}$，并表明其满足 $G(X^p)\,G(-X^p)\,T(X)=X^p$。