Artin-Hasse指数模$p$的超越性质

设$E_p(x)$表示Artin-Hasse指数，$\overline{E}_p(x)$表示其在$\mathbb{F}_p[[x]]$中模$p$的约化。本文研究了$\overline{E}_p(x)$在$\mathbb{F}_p[x]$上的超越性质。我们给出了$\overline{E}_p(x)$是超越的两个证明，肯定地回答了Thakur的一个问题。我们还证明了代数独立性结果：i) 对于满足某些线性独立性条件的$f_1,\dots,f_r \in x\mathbb{F}_p[x]$，我们证明$\overline{E}_p(f_1), \dots, \overline{E}_p(f_r)$在$\mathbb{F}_p[x]$上代数独立；ii) 我们确定了$\overline{E}_p(cx)$之间的代数关系，其中$c \in \mathbb{F}_p^\times$。我们的证明研究了$\overline{E}_p(x)$的高阶导数，并利用了迭代微分伽罗瓦理论。