极大幺幂单值性、类 Lucas 同余与代数无关性

设 $f(z)\in 1+z\mathbb{Q}[[z]]$，$\mathcal{S}$ 为一个素数无限集，使得对所有 $p\in\mathcal{S}$，我们均可将 $f(z)$ 模 $p$ 约化。记 $f(z)_{\mid p}$ 为 $f(z)$ 模 $p$ 的约化。一般地，当 $f(z)$ 是 D-有限时，$f(z)_{\mid p}$ 在 $\mathbb{F}_p(z)$ 上代数。事实证明，若 $f(z)$ 是形如 $X-A_p(z)X^{p^l}$ 的多项式的解，我们可利用此类方程得到关于 $\mathbb{Q}(z)$ 的超越与代数无关结果。本文中，我们寻找湮灭 $f(z)$ 的微分算子的条件，以保证这些特殊方程的存在。假设 $f(z)$ 是微分算子 $\mathcal{H}\in\mathbb{Q}(z)[d/dz]$ 的解，该算子在全体 $p\in\mathcal{S}$ 具有强 Frobenius 结构，并且我们还假设 $f(z)$ 湮灭一个 Fuchs 微分算子 $\mathcal{D}\in\mathbb{Q}(z)[d/dz]$，使得零是 $\mathcal{D}$ 的正则奇点且 $\mathcal{D}$ 在零处的指数均等于零。我们的主要结果表明，对几乎所有素数 $p\in\mathcal{S}$，$f(z)_{\mid p}$ 是形如 $X-A_p(z)X^{p^l}$ 的多项式的解，其中 $A_p(z)$ 是系数在 $\mathbb{F}_p$ 中、高度不超过 $Cp^{2l}$ 的有理函数，$C$ 为不依赖于 $p$ 的正常数。我们还研究了这些幂级数在 $\mathbb{Q}(z)$ 上的代数无关性。