亚纯函数的单叶性准则、积分均值和Dirichlet积分

设$\mathcal{A}(p)$是由在$\ID\setminus \{p\}$（$p\in (0,1)$）上全纯、在点$z=p$处具有非零留数的单极点、且满足规范化条件$f(0)=0=f'(0)-1$的函数$f$组成的类。本文首先证明了$\mathcal{A}(p)$中函数单叶性的一个充分条件。然后，我们考虑由$\ID$上单叶的函数$f \in \mathcal{A}(p)$组成的类，记为$\Sigma(p)$。我们得到了$\ds\max_{f\in \Sigma(p)}\Delta(r,z/f)$的精确值，其中Dirichlet积分$\Delta(r,z/f)$定义为$$\Delta(r,z/f)=\ds\iint_{|z|<r} |\left(z/f(z)\right)'|^2 \,dx\, dy, \quad(z=x+iy),~0<r\leq 1.$$当$f$属于$\Sigma(p)$的某些子类时，我们还得到了$\Delta(r,z/f)$的精确估计。此外，我们得到了上述函数类的积分均值的精确估计。