关于一类由微分不等式定义的无价函数

对 $0<\lambda\le 1$，令 $\mathcal{U}(\lambda)$ 为单位圆盘 $\mathbb{D}$ 内满足 $|f'(z)(z/f(z))^2-1|<\lambda$ 且形如 $f(z)= z+\sum_{n=2}^{\infty}a_n z^n$ 的解析函数类，$\mathcal{U}:=\mathcal{U}(1)$。本文中，我们证明类 $\mathcal{U}$ 包含于星形函数类的闭凸包中，并利用该事实解决了 $\mathcal{U}$ 中函数的积分均值问题与弧长问题等极值问题。借助所谓的星函数理论，我们还解决了 $\mathcal{U}(\lambda)$ 中函数的积分均值问题。我们也获得了 $\mathcal{U}(\lambda)$ 中函数的某非线性积分变换的 Fekete-Szeg\"{o} 泛函与预施瓦茨范数的估计。进一步，对定义于 $\Delta:=\{\zeta\in\mathbb{\widehat{C}}:|\zeta|>1\}$ 且与类 $\mathcal{U}(\lambda)$ 相关联的亚纯函数类，我们得到了函数 $g$ 为该类的极值点的充分条件。