星形族解析函数的最大面积积分问题

对于定义在单位圆盘 $|z|<1$ 上的解析函数 $f$，令 $\Delta(r,f)$ 表示子圆盘 $|z|<r$ 在 $f$ 映射下的像的面积，其中 $0<r\le 1$。Yamashita 于 1990 年猜想，对于凸函数 $f$，有 $\Delta(r,z/f)\le \pi r^2$，该猜想最终由 Obradovi\'{c} 等人于 2013 年解决。在本文中，我们考虑单位圆盘内满足从属关系 $zf'(z)/f(z)\prec (1+(1-2\beta)\alpha z)/(1-\alpha z)$ 的一类解析函数，其中 $0\le \beta<1$ 且 $0<\alpha\le 1$。我们证明了该类函数的 Yamashita 猜想问题，从而部分解决了 Ponnusamy 和 Wirths 提出的一个开放问题。