类 $\mathcal{U}(\lambda)$ 与其他函数族的关系

在本文中，我们考虑在单位圆盘 $|z|<1$ 内解析的函数 $f$ 族，其满足规范化条件 $f(0)=0=f'(0)-1$ 且对某个 $0<\lambda \leq 1$ 满足条件 $\big |\big (z/f(z)\big )^{2}f'(z)-1\big |<\lambda$。我们将此类记为 $\mathcal{U}(\lambda)$，并关注 $\mathcal{U}(\lambda)$ 与单位圆盘内全纯或调和的其他函数族之间的关系。这方面的第一个例子是单向凸函数族。然后我们关注函数 $1/((1-z)(1-\lambda z))$ 从属的函数族。我们证明并非所有函数 $f(z)/z$ $(f \in \mathcal{U}(\lambda))$ 都属于该族。这反驳了 \cite{OPW} 中的一个断言。此外，我们反驳了关于 $\mathcal{U}(\lambda)$ 的一个相关系数猜想。我们考虑上述从属函数族与 $\mathcal{U}(\lambda)$ 的交集， concerning 其函数的边界行为。最后，借助 $\mathcal{U}(\lambda)$ 中的函数，我们构造了单位圆盘内调和且近凸的函数。