函数在单一方向凸时的截断半径

设 $\mathcal{G}(\alpha)$ 表示满足 $f(0)=0= f'(0)=1$ 且 $$\Re \left(1+ \dfrac{z f''(z)}{ f'(z)}\right)<1+\dfrac{\alpha}{2} , \quad z\in \mathbb D$$ 的开单位盘中的函数族。我们确定函数 $f(z)$ 的截断 $s_n(z; f)$ 在哪些满足凸、星形或阶数为 $\beta\;(0\le \beta< 1)$ 的闭拓扑集中是凸的。进一步，我们得到所考虑函数族中截断的若干不等式。