与星像函数和凸函数相关族中的对数系数问题

设 $\es$ 为单位圆盘 $\D$ 内满足规范化条件 $f(0)=f'(0)-1=0$ 的解析单叶函数族，并令 $\gamma_n(f)=\gamma_n$ 表示 $f\in {\es}$ 的对数系数。本文研究某些单叶函数子族的对数系数界。此外，我们考虑由 $${\rm Re} \left ( 1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}\right )>1-\frac{c}{2}\, \mbox{ 且 } \, {\rm Re} \left ( 1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}\right )<1+\frac{\delta}{2},\quad z\in \D$$ 分别对某些 $c\in(0,3]$ 和 $\delta\in (0,1]$ 定义的 $\F(c)$ 和 $\G(\delta)$ 函数族 $f\in {\es}$。当 $n=1,2,3$ 且 $f$ 分别属于类 $\F(c)$ 和 $\G(\delta)$ 时，我们得到了 $|\gamma_n|$ 的尖锐上界。论文以如下两个猜想作结：\begin{itemize} \item 若 $f\in\F (-1/2)$，则对 $n\ge 1$ 有 $\displaystyle |\gamma_n|\le \frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)$，且 $$\sum_{n=1}^{\infty}|\gamma_{n}|^{2} \leq \frac{\pi^2}{6}+\frac{1}{4} ~{\rm Li\,}_{2}\left(\frac{1}{4}\right) -{\rm Li\,}_{2}\left(\frac{1}{2}\right),$$ 其中 ${\rm Li}_2(x)$ 表示二重对数函数。 \item 若 $f\in \G(\delta)$，则对 $n\ge 1$ 有 $\displaystyle |\gamma_n|\,\leq \,\frac{\delta}{2n(n+1)}$。 \end{itemize}