单叶函数逆的对数系数

设 $\es$ 为单位圆盘 $|z|<1$ 内解析且单叶的函数类，其具有形式 $f(z)=z+ \sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n$ 的级数。设 $F$ 为函数 $f\in\es$ 的逆，其级数展开为 $F(w)=f^{-1}(w)=w+ \sum_{n=2}^{\infty}A_nw^n$（$|w|<1/4$）。$F$ 的对数逆系数 $\Gamma_n$ 由公式 $\log\left(F(w)/w\right)\,=\,2\sum_{n=1}^{\infty}\Gamma_n(F)w^n$ 定义。本文首先确定了当 $f$ 属于 $\es$ 且对所有 $n \geq 1$ 时 $|\Gamma_n(F)|$ 的精确界。该结果促使我们对某些重要几何子类推进类似问题。在某些情形中我们已完全解决此问题，但在另一些情形中当 $n\geq 4$ 时难以处理。例如，对于凸函数 $f$，我们证明 $F$ 的对数逆系数 $\Gamma_n(F)$ 满足不等式 $$|\Gamma_n(F)|\,\le \, \frac{1}{2n} \mbox{ for } n\geq 1,2,3$$ 且对函数 $l(z)=z/(1-z)$ 估计是精确的。尽管这对 $n\ge 10$ 不可能成立，但尚不清楚该不等式在 $4\leq n\leq 9$ 时是否仍成立。