关于某些近凸函数的对数系数

单位圆盘 $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ 中满足正规化条件 $f(0)=0=f'(0)-1$ 的解析单叶函数 $f$ 的对数系数 $\gamma_n$ 由 $\log \frac{f(z)}{z}= 2\sum_{n=1}^{\infty} \gamma_n z^n$ 定义。最近，D.K. Thomas [On the logarithmic coefficients of close to convex functions, {\it Proc. Amer. Math. Soc.} {\bf 144} (2016), 1681--1687] 证明了对于近凸函数（辐角为 $0$）的一个子类有 $|\gamma_3|\le \frac{7}{12}$，并通过给出一种极值函数的形式声称该估计是精确的。在本文中，我们指出此类极值函数并不存在，并通过为整个近凸函数类（辐角为 $0$）提供一个大幅改进的界，说明该估计并不精确。我们还针对 Koebe 函数确定了近凸函数（辐角为 $0$）的 $|\gamma_3|$ 的精确上界。