两个解析函数平均的单叶性

令 $\mathcal{A}$ 表示单位圆盘 $\ID=\{z:\,|z|<1\}$ 中所有形如 $f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}a_nz^n$ 的解析函数 $f$ 的集合。令 $\mathcal{U}$ 表示 $\mathcal{A}$ 中所有满足 $f(z)/z\neq 0$ 且条件 $$| f'(z) (\frac{z}{f(z)})^{2}-1 | < 1 \quad \text{对 } z\in \ID$$ 的 $f$ 的集合。已知 ${\mathcal U}$ 中的函数在 $\ID$ 中是单叶的。对于 $\alpha \in [0,1]$，令 $$\mathcal{N}(\alpha)= \{f_\alpha :\, f_\alpha (z)=(1-\alpha)f(z)+\alpha \int_0^z\frac{f(t)}{t}\,dt, \text{其中 } f\in\mathcal{A} \text{ 且 } |a_n|\leq n \text{ 对 } n\geq 2\}.$$ 本文首先证明条件 $\sum_{n=2}^{\infty}n|a_n|\leq 1$ 是 $f$ 属于 ${\mathcal U}$ 的充分条件，并且在所有 $a_n$ 均为负数的情况下，该条件也是 $f\in {\mathcal U}$ 的必要条件。其次，我们得到类 $\mathcal{N}(\alpha)$ 中函数的单叶半径。此外，对于 $f,g\in \mathcal{U}$ 且在 $\ID$ 中 $\frac{f(z)+g(z)}{z}\neq 0$，令 $F(z)=(f(z)+g(z))/2$ 及 $G(z)=r^{-1}F(rz)$，我们确定了使 $G\in {\mathcal U}$ 的 $r$ 的范围。作为这些结果的推论，我们给出了若干特例。