单叶函数首项广义 Zalcman 猜想的证明

令 $\mathcal{S}$ 表示在单位圆盘 $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 内解析且单叶（即一一映射）的函数 $f(z)= z+\sum_{n=2}^{\infty}a_n z^n$ 组成的类。对 $f\in \mathcal{S}$，Ma 提出了广义 Zalcman 猜想：$$|a_{n}a_{m}-a_{n+m-1}|\le (n-1)(m-1),\,\,\,\mbox{ 对 } n\ge2,\, m\ge 2,$$ 且等号仅对 Koebe 函数 $k(z) = z/(1 - z)^2$ 及其旋转成立。本文利用全纯运动的性质与 Krushkal 手术引理 \cite{Krushkal-1995}，证明了当 $n=2$、$m=3$ 以及 $n=2$、$m=4$ 时的广义 Zalcman 猜想。