近凸函数族中广义 Zalcman 泛函 $\lambda a_n^2-a_{2n-1}$ 的界限

令 ${\mathcal S}$ 表示在单位圆盘 $\ID$ 内解析且单叶的所有函数 $f(z)=z+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}z^{n}$ 的类。对于 $f\in {\mathcal S}$，Zalcman 猜想当 $n\geq 3$ 时 $|a_n^2-a_{2n-1}|\leq (n-1)^2$。该猜想仅对 $f\in {\mathcal S}$ 的某些 $n$ 值以及对于近凸函数类 $\mathcal C$（以及另外几类）的所有 $n\ge 4$ 得到了验证。本文中，我们给出了对于 $\mathcal C$ 中的函数及所有 $n\ge 3$ 的广义 Zalcman 系数泛函 $|\lambda a_n^2-a_{2n-1}|$ 的界限，其中 $\lambda$ 为正常数。特别地，我们的特例解决了关于 $f\in \mathcal C$ 的 Zalcman 不等式的开放问题（即 $\lambda =1$ 且 $n=3$ 的情形）。