阶为$\alpha$的凸函数的广义Zalcman猜想

令$\mathcal S$表示在开单位圆盘$\ID$内解析且单叶的形如$f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$的所有函数组成的类，对于$\lambda >0$，令$\Phi_\lambda (n,f)=\lambda a_n^2-a_{2n-1}$表示广义Zalcman系数泛函。Zalcman猜想若$f\in \mathcal S$，则对$n\ge 3$有$|\Phi_1 (n,f)|\leq (n-1)^2$。形如$\Phi_\lambda (n,f)$的泛函实际上与$\mathcal S$中相应函数的$n$次根变换的Fekete-Szeg\H{o}泛函相关。该猜想已在$\mathcal S$的某些特殊几何子类中得到验证，但对于$f\in {\mathcal S}$且$n > 6$该猜想仍开放。本文中，在$\lambda$为正实参数的情形下，我们对$f\in \mathcal{F}(\alpha )$及所有$n\geq 3$证明了$|\Phi_\lambda (n,f)|$的精确界，其中$\mathcal{F}(\alpha )$表示满足如下条件的所有$f\in {\mathcal S}$的函数族：{\rm Re } \left( 1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}\right) > \alpha ~\mbox{ 对 $z\in \ID$}, 这里$-1/2\leq \alpha <1$。因此，本文证明了阶为$\alpha$（$\alpha \in [-1/2,1)$）的凸函数的广义Zalcman猜想。