关于多项式 $P(T^k)$（$k \geq 1$）的素除子的一点注记

设 $F$ 为一个数域， $O_F$ 为 $\mathbb{Z}$ 在 $F$ 中的整闭包， $P(T) \in O_F[T]$ 为一个首一可分多项式，满足 $P(0) \not=0$ 且 $P(1) \not=0$。我们针对给定的正整数 $k$ 给出精确的充分条件，使得以下情形成立：存在无穷多个 $O_F$ 的非零素理想 $\mathcal{P}$，使得 $P(T)$ 模 $\mathcal{P}$ 的约化在剩余域 $O_F/\mathcal{P}$ 中有根，但 $P(T^k)$ 模 $\mathcal{P}$ 的约化在 $O_F/\mathcal{P}$ 中无根。这使得先前一篇论文（受域算术中一个问题启发）中断言存在（无穷多个）此类整数 $k$ 的结果更加精确。