代数数域素理想的主理想性

我们讨论有限代数数域 $L=K(\theta)$ 在代数数域 $K ([K:\mathbb{Q}]<\infty)$ 上的素理想的主理想性，其中 $L$ 由不可约多项式 $f(x)\in \mathfrak{O}_{K}[x]$ 及 $f(\theta)=0$ 定义。我们的主定理表明：若主素理想 $(\pi)\subset \mathfrak{O}_{K}$ 与导子 $\mathfrak{F} =\{\alpha\in \mathfrak{O}_{L}|$ $\mathfrak{O}_{L}$ 的主理想 $(\alpha)\subset \mathfrak{O}_{K}[\theta]\}$ 互素且在 $L$ 上完全分裂：$(\pi)\mathfrak{O}_{L}=\prod \mathfrak{p}_{i}$，则对所有 $i$ 有 $\mathfrak{p}_{i}$ 是 $\mathfrak{O}_{L}$ 的主理想，其中 $\mathfrak{O}_{L}= L \cap \overline{\mathbb{Z}}$ 为 $L$ 的整数环。我们利用超椭圆曲线 $y^{l}=f(x)$ 的非奇异射影曲线模型的雅可比簇来证明主定理，其中 $l$ 为足够大的素数，且与 $f(x)$ 的次数及 $(\pi)$ 互素。