代数数分母中的素数

将代数数集记为 $\overline{\mathbb{Q}}$，代数整数集记为 $\overline{\mathbb{Z}}$。对 $\gamma\in\overline{\mathbb{Q}}$，考虑其在 $\mathbb{Z}[x]$ 中的不可约多项式 $F_{\gamma}(x)=a_nx^n+\dots+a_0$。记 $e(\gamma)=\gcd(a_{n},a_{n-1},\dots,a_1)$。Drungilas、Dubickas 与 Jankauskas 在近期一篇论文中证明 $\mathbb{Z}[\gamma]\cap \mathbb{Q}=\{\alpha\in\mathbb{Q}\mid \{p\mid v_p(\alpha)<0\}\subseteq \{p\mid p|e(\gamma)\}\}$。给定数域 $K$ 与 $\gamma\in\overline{\mathbb{Q}}$，我们证明存在子集 $X(K,\gamma)\subseteq \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$，使得 $\mathcal{O}_K[\gamma]\cap K=\{\alpha\in K\mid \{\mathfrak{p}\mid v_{\mathfrak{p}}(\alpha)<0\}\subseteq X(K,\gamma)\}$。我们证明 $\mathcal{O}_K[\gamma]\cap K$ 为主理想整环当且仅当 $X(K,\gamma)$ 中的素理想生成 $\mathcal{O}_K$ 的类群。我们证明对给定 $\gamma\in \overline{\mathbb{Q}}$，可找到有限集 $S\subseteq \overline{\mathbb{Z}}$，使得对每个数域 $K$ 都有 $X(K,\gamma)=\{\mathfrak{p}\in\text{Spec}(\mathcal{O}_K)\mid \mathfrak{p}\cap S\neq \emptyset\}$。我们研究该集合 $S$ 与环 $\overline{\mathbb{Z}}[\gamma]$ 以及 $\overline{\mathbb{Z}}$ 的理想 $\mathfrak{D}_{\gamma}=\{a\in\overline{\mathbb{Z}}\mid a\gamma\in\overline{\mathbb{Z}}\}$ 的关系。我们还证明 $\gamma_1,\gamma_2\in \overline{\mathbb{Q}}$ 满足 $\mathfrak{D}_{\gamma_1}=\mathfrak{D}_{\gamma_2}$ 当且仅当对所有数域 $K$ 有 $X(K,\gamma_1)=X(K,\gamma_2)$。