具有素特征有限剩余域的多项式 Dedekind 环

我们证明,位于多项式环 $\mathbb Z[X]$ 与 $\mathbb Q[X]$ 之间、且其素特征剩余域均为有限域的每一个 Dedekind 环 $R$ 都等于一个广义整值多项式环,即对每个素数 $p\in\mathbb Z$,在 $p$-进整数环的绝对整闭包 $\overline{\mathbb Z_p}$ 中存在一个由 $\mathbb Q$ 上的超越元组成的有限子集 $E_p$,使得 $R=\{f\in\mathbb Q[X]\mid f(E_p)\subseteq \overline{\mathbb Z_p}, \forall \text{ prime }p\in\mathbb Z\}$。此外,我们证明 $R$ 的类群同构于一个可数族有限生成 Abel 群的直接和。反之,任一此类群都是位于 $\mathbb Z[X]$ 与 $\mathbb Q[X]$ 之间的某个 Dedekind 环 $R$ 的类群。