堆叠伪收敛序列与多项式 Dedekind 整环

设 $p\in\mathbb Z$ 为素数，$\overline{\mathbb Q_p}$ 为 $p$-adic 数域的固定代数闭包，$\overline{\mathbb Z_p}$ 为 $p$-adic 整数环的绝对整闭包。给定 $\mathbb Z_{(p)}$ 到 $\mathbb Q(X)$ 的剩余代数挠扩张 $W$，由 Kaplansky 对赋值域即刻扩张的刻画，存在超越型伪收敛序列 $E=\{s_n\}_{n\in\mathbb N}\subset\overline{\mathbb Q_p}$ 使得 $W=\mathbb Z_{(p),E}=\{\phi\in\mathbb Q(X)\mid\phi(s_n)\in\overline{\mathbb Z_p},\text{ 对所有足够大的 }n\in\mathbb N\}$。我们在此证明可设 $E$ 为堆叠的，即对每个 $n\in\mathbb N$，$\overline{\mathbb Z_p}\cap\mathbb Q_p(s_n)$ 的剩余域（值群， respective）包含于 $\overline{\mathbb Z_p}\cap\mathbb Q_p(s_{n+1})$ 的剩余域（值群， respective）中；$E$ 的这一性质使我们能描述 $W$ 的剩余域与值群。特别地，若 $W$ 为 DVR，则存在 $\overline{\mathbb Q_p}$ 的完备化 $\mathbb C_p$ 中的 $\alpha$ 在 $\mathbb Q$ 上超越，使得 $W=\mathbb Z_{(p),\alpha}=\{\phi\in\mathbb Q(X)\mid\phi(\alpha)\in O_p\}$，其中 $O_p$ 为 $\mathbb C_p$ 的唯一局部环；$\alpha$ 属于 $\overline{\mathbb Q_p}$ 当且仅当剩余域扩张 $W/M\supseteq\mathbb Z/p\mathbb Z$ 有限。作为应用，我们给出了 $\mathbb Z[X]$ 与 $\mathbb Q[X]$ 之间 Dedekind 整环的完整刻画。