数论与几何群论中的一个反问题

本文描述了组合数论与几何之间的一种新联系。主要结论是：$A$ 是一个由互素正整数构成的有限集合，当且仅当 $A = (K-K) \cap \mathbb{N}$，其中 $K$ 是一个实数紧集，且对任意实数 $x$，存在 $y \in K$ 使得 $x \equiv y \mod 1$。在一个方向上，给定一个由互素正整数构成的有限集合 $A$，证明构造了一个适当的紧集 $K$，使得 $A = (K-K) \cap \mathbb{N}$。在另一个方向上，应用几何群论中一个基本定理的强形式，证明了如果 $K$ 满足适当的几何条件，则 $(K-K) \cap \mathbb{N}$ 是一个由互素正整数构成的有限集合。文中还讨论了一些相关结果和未解决问题。