格点逆问题

固定一个正整数 $n$。设 $K\subseteq\mathbb{R}^n$ 是一个紧集，满足 $K+\mathbb{Z}^n=\mathbb{R}^n$。我们通过代数拓扑证明，$K$ 的差集 $(K-K)\cap\mathbb{Z}^n$ 中的整点不包含在坐标轴 $\mathbb{Z}\times\{0\}\times\ldots\times\{0\}\cup\{0\}\times\mathbb{Z}\times\ldots\times\{0\}\cup\ldots\cup\{0\}\times\{0\}\times\ldots\times\mathbb{Z}$ 上。这一结果对 P. Hegarty 和 M. Nathanson 关于互素格点的问题给出了否定答案。