格同构的计算与整数矩阵相似问题

设 K 为一个数域，A 为有限维 K-代数，令 \mathrm{J}(A) 表示 A 的 Jacobson 根，Λ 为 A 中的 \mathcal{O}_{K}-序。假设半单 K-代数 A/{\mathrm{J}(A)} 的每个单分量同构于某个域上的矩阵环。在此关于 A 的假设下，我们给出一种算法，该算法给定两个 Λ-格 X 与 Y，判定 X 与 Y 是否同构，若是则计算显式同构 X \rightarrow Y。该算法将问题在多项式时间内归约为计算代数与算法代数数论中的标准问题。作为一个应用，我们给出针对以下长期未决问题的算法：给定数域 K、正整数 n 及两个矩阵 A,B \in \mathrm{Mat}_{n}(\mathcal{O}_{K})，判定 A 与 B 是否在 \mathcal{O}_{K} 上相似，若是则返回矩阵 C \in \mathrm{GL}_{n}(\mathcal{O}_{K}) 使得 B= CAC^{-1}。我们给出显式例子表明，对于 \mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z} 的后一算法的实现远超所有先前算法的实现，与我们的复杂度分析所预测一致。