基于*-代数的算法及其在单秘密多项式同构、群同构与多项式恒等测试中的应用

我们考虑关于(斜)对称矩阵元组的两个基本算法问题。第一个问题要求判定，给定两个(斜)对称矩阵元组$(B_1, \dots, B_m)$和$(C_1, \dots, C_m)$，是否存在一个可逆矩阵$A$使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$A^tB_iA=C_i$。我们证明该问题在奇数阶有限域、实数域和复数域上可在随机多项式时间内求解。第二个问题要求判定，给定一个方阵元组$(B_1, \dots, B_m)$，是否存在可逆矩阵$A$和$D$，使得对于每个$i\in\{1, \dots, m\}$，$AB_iD$是(斜)对称的。我们证明该问题在特征不为2的域上可在确定性多项式时间内求解。对于这两个问题，我们利用了底层$*$-代数的结构，并运用了模同构问题的结果与方法。我们结果的应用范围涵盖多变量密码学、群同构到多项式恒等测试。具体而言，这些结果意味着以下问题的高效算法：(1)在奇数阶有限域上测试带有一个秘密的二次型同构。该问题属于作为Patarin (Eurocrypto 1996)提出的某些认证方案的安全性基础的问题族。(2)在换位子群的阶为$p^{O(\sqrt{k})}$时，以群阶的多项式时间测试阶为$p^k$的类2且指数为$p$($p$为奇数)的$p$-群的同构。(3)确定性地揭示由斜对称结构引起的两族奇异性见证，这是继非交换秩问题的近期解决(Garg等, FOCS 2016; Ivanyos等, ITCS 2017)之后，多项式恒等测试问题沿该方向迈出的自然下一步。