求解所有二次型对的“含两个秘密的多项式同构”问题

我们研究了有限奇特征域上 $n$ 个变量的 $m=2$ 个齐次二次多项式的多项式同构 (IP2S) 问题：给定 $n$ 个变量上的两个二次多项式 $(a, b)$，寻找两个双射线性映射 $(s,t)$ 使得 $b=t \cdot a \cdot s$。我们给出了一种算法，可在所有实例中以 $O~(n^4)$ 的时间复杂度计算 $s$ 和 $t$，并在主要实例集中以 $O~(n^3)$ 的复杂度完成。IP2S 问题由 Patarin 于 1996 年在密码学中提出。当 $t$ 为单位矩阵时，该问题的特例称为“含一个秘密的同构”(IP1S) 问题。通用代数方程求解器（例如使用 Gr\"obner 基）能很好地解决 IP1S 问题的随机实例。对于 IP1S 的特定循环实例，后来给出了一种立方时间算法，并用有限域上二次型束的术语进行了解释；特别是，奇特征下的循环 IP1S 问题可归约为矩阵平方根的计算。我们在此给出了一种利用两种新工具求解奇特征下所有 IP1S 问题实例的算法：奇异二次束的 Kronecker 形式，以及非交换代数上双线性形式的归约。最后，我们展示了 IP2S 问题中的第二个秘密可在立方时间内恢复。