数域中的根格

我们探讨一个根格是否可能与数域 $K$ 的整数环 $\mathscr O$ 在赋予内积 $(x, y):={\rm Trace}_{K/\mathbb Q}(x\cdot\theta(y))$（其中 $\theta$ 是 $K$ 的一个对合）后相似。我们分类了所有使得 $\mathscr O$ 相似于某个偶根格或根格 $\mathbb Z^{[K:\mathbb Q]}$ 的数对 $K$, $\theta$。我们也分类了所有使得 $\mathscr O$ 为根格的数对 $K$, $\theta$。此外，我们证明 $\mathscr O$ 从不相似于秩 $\leqslant 48$ 的正定偶幺模格，特别地，$\mathscr O$ 不相似于 Leech 格。在附录中，我们给出 $\mathscr O$ 的判别式群（discriminant group）的素幂分量的一般循环性判据。