关于全实 $p$-有理数域中单位的 Galois 结构

整格的因子等价理论建立了数域整数环的单位群的 Galois 模结构与其算术之间的深远联系。对于在 $\mathbb{Q}$ 上 Galois 或为虚二次域的数域 $K$,我们证明了 $K$ 的子域类数商的一个充要条件,使得 $K$ 的整数环单位群模去单位根子群所得商 $E_{K}$ 与标准循环 Galois 模因子等价。利用全实 $p$-有理数域的强算术性质,我们证明了 $\mathbb{Q}$ 的非交换 $p$-有理 $p$-扩张不承认 Minkowski 单位,从而将 Burns 的一个结果推广到非交换数域。我们还研究了对于 Galois 群同构于固定有限群 $G$ 的全实 $p$-有理数域的变 Galois 扩张 $L/F$,$E_{L}$ 的相对 Galois 模结构。在该情形下,我们证明存在 $\mathbb{Z}_p[G]$-格的一个有限集 $\Omega$,使得对每个 $L$,作为 $\mathbb{Z}_p[G]$-格有 $\mathbb{Z}_{p} \otimes_{\mathbb{Z}} E_{L}$ 因子等价于 $\mathbb{Z}_{p}[G]^{n} \oplus X$,其中某个 $X \in \Omega$ 且整数 $n \geq 0$。