八次 Kummer 扩张形状分布研究

数域 $K$ 的形状定义为在由旋转、反射和正标量扩张生成的线性操作下，整数格的等价类。可视为空间中形状 $\mathscr{S}_{n-1} = \mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{Z})\backslash \mathrm{GL}_{n-1}(\mathbb{R})/\mathrm{GO}_{n-1}(\mathbb{R})$ 中的一点。本文研究八次 Kummer 扩张 $L=\mathbb{Q}(i,\sqrt[4]{m})$ 的形状分布，其中 $m\in\mathbb{Z}[i]$ 为四次无平方数。我们通过显式称为形状参数的不变量对这些形状进行参数化，并建立其按绝对判别数排序的联合分布的渐近公式。极限分布由显式测度给出，该测度可因局部算术条件而分为连续测度与离散测度的乘积。