纯四次数域形状分布之研究

数域的形状是数几何中产生的细微算术不变量，定义为围绕旋转、反射和正标量扩张的线性操作的合成作用义类。对于次数为 $n$ 的数域，形状是空间中形状 $\mathscr{S}_{n-1}$ 中的一点，而 $\mathscr{S}_{n-1}$ 是双商 $GL_{n-1}(\mathbb{Z}) \backslash GL_{n-1}(\mathbb{R}) / GO_{n-1}(\mathbb{R})$。本文研究了纯四次数域 $K_m = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ 中形状的分布。我们证明，$K_m$ 的形状位于 $\mathscr{S}_3$ 中的十个显式描述的环面轨道之一，由 $m \bmod 32$ 的符号和剩余类决定。我们指出，给定环面轨道上的形状完全由两个参数决定，其中一个参数连续变化，另一个取離散集合中的值。因此，该家族中形状的分布由连续测度与离散测度的乘积所支配。我们的结果为 Manjul Bhargava 和 Piper H 提出的问题提供了新的见解，该问题涉及固定次数下非通用数域家族中形状的分布。值得注意的是，我们案例中的极限分布并非来自在 $GL_3(\mathbb{R})$ 上的 Haar 测度所诱导的自然测度在 $\mathscr{S}_3$ 上的限制。