有限域上的二次型与对称双线性型及其结合方案

设 $\mathscr{Q}(m,q)$ 和 $\mathscr{S}(m,q)$ 分别为 $\mathbb{F}_q$ 上 m 维向量空间上的二次型与对称双线性型集合。在自然的群作用之下，$\mathscr{Q}(m,q)$ 与 $\mathscr{S}(m,q)$ 的轨道诱导出两个平移结合方案，已知它们互为对偶。我们以广义 Krawtchouk 多项式的线性组合给出了这些结合方案特征值的显式表达式，将先前关于奇数 q 的结果推广到更困难的 q 为偶数的情形。随后我们研究这些方案中的 d-码，即 $\mathscr{Q}(m,q)$ 或 $\mathscr{S}(m,q)$ 中具有如下性质的子集 X：对所有不同的 $A,B\in X$，$A-B$ 的秩至少为 d。我们证明了 d-码大小的紧界，并表明当这些界取等号时，子集的内分布常由其参数唯一确定。我们还讨论了与经典纠错码的联系，并展示了如何由本文结果确定 $\mathbb{F}_q$ 上大类码的汉明距离分布。