单轨道循环子空间码的距离分布

循环子空间码是子空间轨道的联合体。在最近的一篇论文中，Gluesing-Luerssen 等人（Des. Codes Cryptogr. 89, 447-470, 2021）展示了单轨道循环子空间码距离分布的研究等价于其交叉分布的研究。在本文中，我们证明了在具有稳定器 $\mathbb{F}_{q^t}^*(t \neq n)$ 的子空间 $U$ 的轨道中，使得 $\dim(U\cap \alpha U)=i$ 的 codeword 对 $(U,\alpha U)$ 的个数是 $q^t(q^t+1)$ 的倍数，如果 $\frac{n}{t}$ 为奇数。在 $\frac{n}{t}$ 为偶数的情况下，如果 $U$ 包含 $\frac{q^{2tm}-1}{q^{2t}-1}~ (m\geq 0)$ 个不同的循环位移 $\mathbb{F}_{q^{2t}}$，则使得交叉维数为 $2tm$ 的 codeword 对 $(U,\alpha U)$ 的个数等于 $q^t+rq^t(q^t+1)$，其中 $r$ 为非负整数；而使得交叉维数为 $i$（$i\neq 2tm$）的 codeword 对 $(U,\alpha U)$ 的个数是 $q^t(q^t+1)$ 的倍数。给出了一些例子来说明本文中 presented 的结果。