有限欧氏几何与 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的对称子集之间的组合对应

数学中的 $q$-类比涉及使用参数 $q$ 对经典量进行扰动，当 $q$ 趋于 $1$ 时恢复为原始量。一个重要例子是 $q$-二项式系数，它表示 $\mathbb{F}_{q}^{n}$ 中 $k$ 维子空间的数目。当 $q$ 趋于 $1$ 时，这恢复为衡量 $\left [ n \right ]$ 中 $k$-子集数目的二项式系数。Yoo（2019）研究了 $q$-二项式系数的点类比（dot-analogues），以探究有限域上二次空间的 combinatorics。等距同构于 $(\mathbb{F}_{q}^{k},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2})$ 的 $(\mathbb{F}_{q}^{n},x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})$ 中 $k$ 维二次空间的数目也可描述为类似于二项式系数，称为点二项式系数（dot-binomial coefficients），$\binom{n}{k}_{d}$。本文中，我们研究了该有限欧氏几何与 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的对称子集之间的组合对应。此外，我们证明了点二项式系数可用 $q$-二项式系数和多项式表示，并证明点二项式系数是 $q$ 中的多项式。进一步，我们研究了由点二项式系数 $\binom{n}{k}_{d}$ 给出的多项式的性质。