某类对称函数的 q-模拟及其一个特化

令对称函数对整数对 $\left( n,r\right)$（$n\geq r\geq 1$）定义为 $p_{n}^{\left( r\right) }=\sum m_{\lambda }$，其中 $m_{\lambda }$ 为单项对称函数，求和遍历整数 $n$ 的长度为 $r$ 的分拆 $\lambda$。我们通过生成函数引入 $p_{n}^{\left( r\right) }$ 的一个 $q$-模拟并给出其若干性质。该 $q$-模拟借助 $q$-Stirling 数与其经典形式相关联。我们亦以相同步骤开启 $p_{n}^{\left( r\right) }$ 的 $p,q$-模拟研究。通过将此 $q$-模拟特化于级数 $\sum\nolimits_{n=0}^{ \infty }q^{\binom{n}{2}}t^{n}/n!$ 中，我们以纯形式方式重新得到一类多项式 $J_{n}^{\left( r\right) }$，该类多项式历史上作为组合枚举器（尤其是树反序的枚举器）被引入。这也导出了这些多项式的一个新线性递推，其三角表可从初值 $J_{r}^{\left( r\right) }=1$ 逐行构造。该递推形式亦对 $J_{n}^{\left( r\right) }$ 的倒数多项式给出，后者已知为停车函数的求和枚举器。我们推导出 $J_{n}^{\left( r\right) }$ 及其倒数的显式公式，反推得到这些多项式作为森林统计量的新表示。