q=-1 处 Delta 猜想的组合学

在洗牌定理的背景下，许多经典整数序列以由双统计量 $q$ 和 $t$ 的自然精细化形式出现：例如 Catalan 数和 Schr"oder 数。特别地，对角调和元的分次 Hilbert 级数是 $(n+1)^{n-1}$ 的一个 $q,t$-类比（并且可通过 nabla 算子用对称函数写出）。这项工作的动机是观察到在 $q=-1$ 时，该 $q,t$-类比变为 Euler 数的一个 $t$-类比，Euler 数是计数交错排列的著名整数序列。我们通过一个更一般的陈述证明这一观察，该陈述涉及对称函数上的 Delta 算子（一侧）以及涉及峰与谷的排列上的新组合统计量（另一侧）。一个重要的工具是 Hicks 首次引入、并由 Haglund 和 Sergel 扩展的停车函数的调度数。其他经验观察表明在 $q=-1$ 处的非负性在远更一般的情形下成立。