非对称shuffle定理

Haglund等人的shuffle猜想将对称函数$\nabla e_n$表达为以标记Dyck路径为和的形式。其中$\nabla$是对称函数的一个算子，定义为在修改Macdonald多项式基底上的对角作用。Haglund-Morse-Zabrocki后续 refines了shuffle猜想为组合型shuffle猜想，将$\nabla C_\alpha$表达为以带有touchpoints指定为$\alpha$的标记Dyck路径为和的形式，其中$C_\alpha$是组合Hall-Littlewood多项式。Carlsson-Mellit通过发展一种称为double Dyck path algebra的DAHA变体的理论，解构了两个版本的猜想。在最近的一篇论文中，我们发现了一种非对称plethysm的概念，导致我们对修改非对称Macdonald多项式$\mathsf{H}_{\eta|\lambda}(\mathbf{x};q,t)$进行了构造。这些多项式Weyl对称化为其对称对应物， conjecturally具有原子正性。本文引入了非对称版本$\\boldsymbol{\\nabla}$的$\\nabla$，现在作用于由函数$\mathsf{H}_{\\eta|\\lambda}(\\mathbf{x};q,t)$给出的基底的对角作用。我们将我们的理论与Carlsson-Mellit和Mellit的结果相结合，建立了一个非对称版本的组合型shuffle猜想，将$\\boldsymbol{\\nabla}^{-1}$应用到\\mathsf{C}_\\alpha的非对称版本上，等价于以$\\alpha$指定的touchpoints为和的标记Dyck路径的组合数。这个组合数 conjecturally具有原子正性，细化了其对称对应物已知的Schur正性。