稳定极限部分对称 Macdonald 函数与抛物标志 Hilbert 图

修正 Macdonald 函数 $\widetilde{H}_{\mu}$ 是现代代数组合学中的基本对象。Haiman 证明了 $(\mathbb{C}^{*})^{2}$-固定点 $I_{\mu}$ 与 Hilbert 图 $\mathrm{Hilb}_{n}(\mathbb{C}^{2})$ 之间存在对应关系，这种对应关系实现了 $(\mathbb{C}^{*})^{2}$-等价 coherent 层次与 $(\mathfrak{S}_n \times (\mathbb{C}^{*})^{2})$-等价 coherent 层次之间的派生等价。Carlsson--Gorsky--Mellit 引入了更大的光滑射影 Variety 族 $\mathrm{PFH}_{n,n-k}$，称为抛物标志 Hilbert 图。他们证明了与 Shuffle 定理证明中使用的双 Dyck 路径代数 $\mathbb{A}_{q,t}$ 直接相关的代数 $\mathbb{B}_{q,t}$ 自然地作用于这些空间的 $(\mathbb{C}^{*})^{2}$-等价 K 理论 $U_{\bullet}$，且存在 $\mathbb{B}_{q,t}$-同构 $\Phi: U_{\bullet} \rightarrow V_{\bullet}$，其中 $V_{\bullet}$ 为多项式表示。该同构 $\Phi: U_{\bullet} \rightarrow V_{\bullet}$ 已知可延拓 Haiman 的对应关系。在本文中，我们显式计算 $\mathrm{PFH}_{n,n-k}$ 空间规范化 $(\mathbb{C}^{*})^{2}$-固定点类 $H_{\mu,w}$ 的像 $\Phi(H_{\mu,w})$，并证明它们与 Goodberry-Orr 引入的修正部分对称 Macdonald 多项式 $\widetilde{H}_{(\lambda|\gamma)}$ 一致，从而确认了其先前的猜想。我们利用这一结果给出 $\mathcal{N}$ 作用于 $V_{\bullet}$ 上不变式的显式公式。