$\mathcal{O}_\infty$-稳定 $C^*$-代数的代数 K-理论、K-正则性与 T-对偶

我们发展了一种用于拓扑 $\mathbb{T}$-对偶的代数形式体系。更确切地说，我们证明了拓扑 $\mathbb{T}$-对偶实际上诱导了非交换动机之间的同构，进而实现了扭曲 K-理论之间众所周知的同构（相差一个平移）。为了建立这一结果，我们用代数 K-理论来建模拓扑 K-理论。我们还从任意强自吸收 $C^*$-代数 $\mathcal{D}$ 出发构造了一个 $E_\infty$-算子。随后我们证明，在可分 $C^*$-代数范畴上存在一个函子性的拓扑 K-理论对称谱构造 ${\bf K}_\Sigma^{top}(-)$，使得 ${\bf K}_\Sigma^{top}(\mathcal{D})$ 是该算子上的代数；此外，${\bf K}_\Sigma^{top}(A\hat{\otimes}\mathcal{D})$ 是该代数上的模。在此过程中，我们获得了一个新的取值于对称谱的函子模型，用于描述 $C^*$-代数的（连通）拓扑 K-理论。我们还证明了 $\mathcal{O}_\infty$-稳定 $C^*$-代数是 K-正则的，这为 Rosenberg 猜想提供了证据。最后，我们明确描述了源自数论的 $ax+b$-半群 $C^*$-代数的代数 K-理论，以及 $\mathcal{O}_\infty$-稳定化非交换环面的代数 K-理论。