复非交换空间的拓扑 K-理论
K理论与同调
2019-02-20 v4 代数几何
摘要
本文旨在定义复数域上 dg-范畴的拓扑 K-理论，并证明从代数 K-理论到周期循环同调的 Chern 特征映射自然地下降到这一新不变量。在非交换 Hodge 结构理论中，该拓扑 Chern 映射为光滑真 dg-代数的周期循环同调上存在有理结构提供了一个自然候选。拓扑 K-理论的定义包含两个步骤：取代数 K-理论的拓扑实现，并反转 Bott 元素。拓扑实现是将“复点空间”函子左 Kan 延拓至复代数簇上的所有单纯预层。我们的第一个主要结果表明，单位 dg-范畴的拓扑 K-理论是谱 BU。为此，我们利用 Lurie 的真下降证明了 Deligne 上同调真下降的同伦推广。Chern 特征下降到拓扑 K-理论这一事实是通过使用 Kassel 关于周期循环同调的 K"unneth 公式以及再次利用真下降结果建立的。在光滑概型上完美复形的 dg-范畴情形下，我们证明了可恢复通常的拓扑 K-理论。最后，在有限维结合代数的情形下，我们证明了格点猜想成立。这给出了用有限型投射模栈表示的有限维代数周期同调群的公式。
引用
@article{arxiv.1211.7360,
title = {Topological K-theory of complex noncommutative spaces},
author = {Anthony Blanc},
journal= {arXiv preprint arXiv:1211.7360},
year = {2019}
}
备注
72 pages. To appear in Compositio Mathematica. Corrected the assumptions in the comparison isomorphism for schemes (now stated for singular schemes, proposition 4.32) as well as some technical assumptions in proposition 3.24