非交换代数簇的晶体表示与 p-进 Hodge 理论

设 $\mathcal{T}$ 为一个 $\mathcal{O}_K$-线性、幂等完备、小、光滑、真、稳定的 $\infty$-范畴，其中 $K$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张。我们在拓扑负循环同调 $\pi_i{\rm TC}^-(\mathcal{T}/\mathbb{S}[z];\mathbb{Z}_p)$ 上给出一个 Breuil-Kisin 模结构，并证明 Bhatt-Morrow-Scholze 比较定理的 $K$-理论版本。此外，利用 Gao 的 Breuil-Kisin $G_K$-模理论以及 Du-Liu 的 $(\varphi,\hat{G})$-模理论，我们证明 $\mathbb{Z}_p[G_K]$-模 $T_{A_{\rm inf}}(\pi_i{\rm TC}^-(\mathcal{T}/\mathbb{S}[z];\mathbb{Z}_p)^{\vee})$ 是某个晶体表示的 $\mathbb{Z}_p$-格。作为推论，若 $\mathcal{T}$ 的泛纤维在 Orlov 意义下容许几何实现，我们证明泛纤维的 $K(1)$-局部 $K$-理论与具有 $B_{\rm crys}$-系数的特殊纤维的拓扑循环周期同调理论之间的比较定理，特别地，我们证明泛纤维的 $K(1)$-局部 $K$-理论的 $p$-进表示是一个晶体表示，这可视为 Tsuji 和 Faltings 所证明的光滑真簇的 $p$-进 Hodge 理论的非交换类比。本文是 arXiv:2305.00292 的完整版，包含额外的细节与结果。