分数阶 Schrödinger 算子$q$-调和函数的梯度估计

我们研究有界域$D \subset \mathbb{R}^d$中分数阶 Schrödinger 算子$\Delta^{\alpha/2} + q$（其中$\alpha \in (0,1]$）的$q$-调和函数$u$的梯度估计。对于非负$u$，我们证明若$q$具有阶数$\eta > 1 - \alpha$的 Hölder 连续性，则对于任意$x \in D$，$\nabla u(x)$存在，且$|\nabla u(x)| \le c u(x)/ (\dist(x,\partial D) \wedge 1)$。指数$1 - \alpha$是临界的，即当$q$仅具有$1 - \alpha$阶 Hölder 连续性时，$\nabla u(x)$可能不存在。上述梯度估计在$\alpha \in (1,2]$且假设$q$属于 Kato 类$\mathcal{J}^{\alpha - 1}$的情况下是众所周知的。$\alpha \in (0,1]$的情况则有所不同。为了获得$\alpha \in (0,1]$的结果，我们使用了概率方法。作为推论，我们得出对于$\alpha \in (0,1)$，$\Delta^{\alpha/2}u + q u = 0$的弱解实际上是强解。