非线性薛定谔方程本质谱内的分支延拓

我们考虑非线性稳态薛定谔方程 \begin{equation*} -\Delta u -\lambda u= Q(x)|u|^{p-2}u, \qquad \text{in }\mathbb{R}^N \end{equation*} 在 $N \geq 3$、$p$ 为超线性次临界指数、$Q$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中具有紧支撑的有界、非负且非平凡权函数、以及 $\lambda \in \mathbb{R}$ 为参数的情形。在对指数 $p$ 或 $Q$ 的形状附加进一步限制下，我们建立了该方程非平凡解的连续分支 $\mathcal{C}$ 的存在性，该分支与每个 $\lambda \in (-\infty, \lambda_Q)$ 和 $s> \frac{2N}{N-1}$ 下的 $\{\lambda \} \times L^{s}(\mathbb{R}^N)$ 相交。此处 $\lambda_Q>0$ 是一个显式正常数，仅依赖于 $N$ 和 $\text{diam}(\text{supp }Q)$。特别地，沿该分支的 $\lambda$ 值集合进入了算子 $-\Delta$ 的本质谱。