一类非齐次微分算子的连续谱

我们研究边值问题 $-{\rm div}((|\nabla u|^{p_1(x)-2}+|\nabla u|^{p_2(x)-2})\nabla u)=\lambda|u|^{q(x)-2}u$（在 $\Omega$ 内），$u=0$（在 $\partial\Omega$ 上），其中 $\Omega$ 是 $\RR^N$ 中具有光滑边界的有界区域，$\lambda$ 为正实数，连续函数 $p_1$、$p_2$ 和 $q$ 满足 $1<p_2(x)<q(x)<p_1(x)<N$ 且对任意 $x\in\bar\Omega$ 有 $\max_{y\in\bar\Omega}q(y)<\frac{N p_2(x)}{N-p_2(x)}$。本文的主要结果确立了存在两个正常数 $\lambda_0$ 和 $\lambda_1$（满足 $\lambda_0\leq\lambda_1$），使得任何 $\lambda\in[\lambda_1,\infty)$ 均为特征值，而任何 $\lambda\in(0,\lambda_0)$ 均不是上述问题的特征值。