关于径向对称域上含加权 $p$-拉普拉斯算子的特征值问题

我们研究如下特征值问题 \begin{align*} \begin{cases} -\operatorname{div}\left( L(x) |\nabla u| ^{p-2}\nabla u\right)=\lambda K(x)|u|^{p-2}u \quad \text{in } A_{R_1}^{R_2} , u=0\quad \text{on } \partial A_{R_1}^{R_2} , \end{cases} \end{align*} 其中 $A_{R_1}^{R_2}:=\{x\in\mathbb{R}^N: R_1<|x|<R_2\}$ $(0< R_1<R_2\leq\infty)$， $\lambda>0$ 为参数，权函数 $L$ 与 $K$ 可测，且 $L$ 在 $A_{R_1}^{R_2}$ 中几乎处处为正， $K$ 在 $A_{R_1}^{R_2}$ 中可变号。我们证明了第一特征对的存在性，并讨论了特征函数的正则性与正性。同时也研究了当 $|x|\to R_1^+$ 或 $R_2^-$ 时 $u(x)$ 与 $\nabla u(x)$ 的渐近估计。