一个局部/非局部$p$-Laplacian系统：特征值问题及其当$p\to\infty$时的渐近极限

在这项工作中，给定$p\in (1,\infty)$，我们证明下列局部/非局部偏微分方程组的第一特征值$\lambda_p$及其对应特征向量$(u_p,v_p)$的存在性与单纯性，\begin{equation}\label{Eq0} \left\{ \begin{array}{rclcl} -\Delta_p u + (-\Delta)^r_p u & = & \frac{2\alpha}{\alpha+\beta}\lambda |u|^{\alpha-2}|v|^{\beta}u & \mbox{in} & \Omega \\ -\Delta_p v + (-\Delta)^s_p v& = & \frac{2\beta}{\alpha+\beta}\lambda |u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v & \mbox{in} & \Omega u& =& 0&\text{ on } & \mathbb{R}^N \setminus \Omega v& =& 0&\text{ on } & \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{array} \right. \end{equation}其中$\Omega$$\subset$ $\mathbb{R}^N$是有界开区域，$0<r, s<1$且$\alpha(p)+\beta(p) = p$。此外，我们处理当$p \to \infty$时的渐近极限，证明相应第一$\infty-$特征值的显式几何刻画，即$\lambda_{\infty}$，以及这对$(u_p,v_p)$到$\infty-$特征向量$(u_{\infty},v_{\infty})$的一致收敛。最后，三元组$(u_{\infty},v_{\infty},\lambda_{\infty})$在粘性意义下满足一个极限偏微分方程组。