分数阶 $p-$Laplacian 系统的特征值

我们研究分数阶 $p-$Laplacian 系统的特征值问题，即 $$\begin{cases} (-\Delta_p)^r u = \lambda\dfrac{\alpha}p|u|^{\alpha-2}u|v|^{\beta} &\text{in } \Omega,\vspace{.1cm} (-\Delta_p)^s u = \lambda\dfrac{\beta}p|u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v &\text{in } \Omega, u=v=0 &\text{in }\Omega^c=\R^N\setminus\Omega. \end{cases}$$ 我们证明存在第一个（最小的）特征值，它是简单的，并且具有由正的有界函数组成的相关特征对。此外，存在一列特征值 $\lambda_n$ 使得 $\lambda_n\to\infty$ 当 $n\to\infty$。另外，我们研究第一特征值 $\lambda_{1,p}$ 当 $p\to \infty$ 时的极限，并得到 $[\lambda_{1,p}]^{\nicefrac{1}{p}}\to \Lambda_{1,\infty}$ 当 $p\to\infty,$ 其中 $$\Lambda_{1,\infty} = \inf_{(u,v)} \left\{ \frac{\max \{ [u]_{r,\infty} ; [v]_{s,\infty} \} }{ \| |u|^{\Gamma} |v|^{1-\Gamma} \|_{L^\infty (\Omega)} } \right\} = \left[ \frac{1}{R(\Omega)} \right]^{ (1-\Gamma) s + \Gamma r }.$$ 这里 $R(\Omega):=\max_{x\in\Omega}\dist(x,\partial\Omega)$ 且 $[w]_{t,\infty} \coloneqq \sup_{(x,y)\in\overline{\Omega}} \frac{| w(y) - w(x)|}{|x-y|^{t}}.$ 最后，我们识别了特征对子序列的任何可能一致极限在粘性意义下满足的 PDE 问题。